Es gelten die allgemeinen Vorbemerkungen.
(1) | Axiom 1 | ∀a: ¬Sa=0 | |||||||||
(2) | Axiom 2 | ∀a: (a+0)=a | |||||||||
(3) | Axiom 3 | ∀a: ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(4) | Spezialisierung (3) a ← a | ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(5) | Spezialisierung (4) b ← b | (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(6) | Spezialisierung (2) a ← a | (a+0)=a | |||||||||
(7) | Spezialisierung (2) a ← b | (b+0)=b | |||||||||
(8) | Symmetrie (6) | a=(a+0) | |||||||||
(9) | Transitivität (8), (6) | a=a | |||||||||
(10) | Verallgemeinerung (9) nach a | ∀a: a=a | |||||||||
(11) | Spezialisierung (10) a ← 0 | 0=0 | |||||||||
(12) | Spezialisierung (10) a ← Sc | Sc=Sc | |||||||||
(13) | Spezialisierung (4) b ← c | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(14) | Verallgemeinerung (13) nach a | ∀a: (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(15) | Spezialisierung (14) a ← b | (b+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(16) | Spezialisierung (3) a ← Sa | ∀b: (Sa+Sb)=S(Sa+b) | |||||||||
(17) | Spezialisierung (16) b ← b | (Sa+Sb)=S(Sa+b) | |||||||||
(18) | Spezialisierung (3) a ← 0 | ∀b: (0+Sb)=S(0+b) | |||||||||
(19) | Spezialisierung (18) b ← a | (0+Sa)=S(0+a) | |||||||||
(20) | Spezialisierung (4) b ← Sd | (a+SSd)=S(a+Sd) | |||||||||
(21) | Verallgemeinerung (20) nach a | ∀a: (a+SSd)=S(a+Sd) | |||||||||
(22) | Spezialisierung (21) a ← b | (b+SSd)=S(b+Sd) | |||||||||
(23) | Spezialisierung (1) a ← d | ¬Sd=0 | |||||||||
(24) | Spezialisierung (2) a ← Sa | (Sa+0)=Sa | |||||||||
(25) | S hinzufügen (8) | Sa=S(a+0) | |||||||||
(26) | Transitivität (24), (25) | (Sa+0)=S(a+0) | |||||||||
(27) | Hypothese | (Sa+b)=S(a+b) | |||||||||
(28) | Übernahme (17) | (Sa+Sb)=S(Sa+b) | |||||||||
(29) | S hinzufügen (27) | S(Sa+b)=SS(a+b) | |||||||||
(30) | Transitivität (28), (29) | (Sa+Sb)=SS(a+b) | |||||||||
(31) | Übernahme (5) | (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(32) | S hinzufügen (31) | S(a+Sb)=SS(a+b) | |||||||||
(33) | Symmetrie (32) | SS(a+b)=S(a+Sb) | |||||||||
(34) | Transitivität (30), (33) | (Sa+Sb)=S(a+Sb) | |||||||||
(35) | Konklusion (27), (34) | <(Sa+b)=S(a+b) ⇒ (Sa+Sb)=S(a+Sb)> | |||||||||
(36) | Verallgemeinerung (35) nach b | ∀b: <(Sa+b)=S(a+b) ⇒ (Sa+Sb)=S(a+Sb)> | |||||||||
(37) | Induktion (26), (36) | ∀b: (Sa+b)=S(a+b) | |||||||||
(38) | Spezialisierung (37) b ← c | (Sa+c)=S(a+c) | |||||||||
(39) | Verallgemeinerung (38) nach a | ∀a: (Sa+c)=S(a+c) | |||||||||
(40) | Spezialisierung (39) a ← b | (Sb+c)=S(b+c) | |||||||||
(41) | Verallgemeinerung (40) nach c | ∀c: (Sb+c)=S(b+c) | |||||||||
(42) | Spezialisierung (41) c ← a | (Sb+a)=S(b+a) | |||||||||
(43) | Spezialisierung (41) c ← Sd | (Sb+Sd)=S(b+Sd) | |||||||||
(44) | Spezialisierung (2) a ← 0 | (0+0)=0 | |||||||||
(45) | Hypothese | (0+a)=a | |||||||||
(46) | Übernahme (19) | (0+Sa)=S(0+a) | |||||||||
(47) | S hinzufügen (45) | S(0+a)=Sa | |||||||||
(48) | Transitivität (46), (47) | (0+Sa)=Sa | |||||||||
(49) | Konklusion (45), (48) | <(0+a)=a ⇒ (0+Sa)=Sa> | |||||||||
(50) | Verallgemeinerung (49) nach a | ∀a: <(0+a)=a ⇒ (0+Sa)=Sa> | |||||||||
(51) | Induktion (44), (50) | ∀a: (0+a)=a | |||||||||
(52) | Spezialisierung (51) a ← b | (0+b)=b | |||||||||
(53) | Spezialisierung (51) a ← a | (0+a)=a | |||||||||
(54) | Symmetrie (53) | a=(0+a) | |||||||||
(55) | Transitivität (6), (54) | (a+0)=(0+a) | |||||||||
(56) | Hypothese | (a+b)=(b+a) | |||||||||
(57) | Übernahme (5) | (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(58) | Übernahme (42) | (Sb+a)=S(b+a) | |||||||||
(59) | Symmetrie (58) | S(b+a)=(Sb+a) | |||||||||
(60) | S hinzufügen (56) | S(a+b)=S(b+a) | |||||||||
(61) | Transitivität (57), (60) | (a+Sb)=S(b+a) | |||||||||
(62) | Transitivität (61), (59) | (a+Sb)=(Sb+a) | |||||||||
(63) | Konklusion (56), (62) | <(a+b)=(b+a) ⇒ (a+Sb)=(Sb+a)> | |||||||||
(64) | Verallgemeinerung (63) nach b | ∀b: <(a+b)=(b+a) ⇒ (a+Sb)=(Sb+a)> | |||||||||
(65) | Induktion (55), (64) | ∀b: (a+b)=(b+a) | |||||||||
(66) | Spezialisierung (65) b ← c | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(67) | Hypothese | (a+0)=(b+0) | |||||||||
(68) | Übernahme (7) | (b+0)=b | |||||||||
(69) | Übernahme (8) | a=(a+0) | |||||||||
(70) | Transitivität (69), (67) | a=(b+0) | |||||||||
(71) | Transitivität (70), (68) | a=b | |||||||||
(72) | Konklusion (67), (71) | <(a+0)=(b+0) ⇒ a=b> | |||||||||
(73) | Hypothese | <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(74) | Hypothese | (a+Sc)=(b+Sc) | |||||||||
(75) | Übernahme (13) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(76) | Übernahme (15) | (b+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(77) | Transitivität (74), (76) | (a+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(78) | Symmetrie (75) | S(a+c)=(a+Sc) | |||||||||
(79) | Transitivität (78), (77) | S(a+c)=S(b+c) | |||||||||
(80) | S entfernen (79) | (a+c)=(b+c) | |||||||||
(81) | Übernahme (73) | <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(82) | Modus ponens (81), (80) | a=b | |||||||||
(83) | Konklusion (74), (82) | <(a+Sc)=(b+Sc) ⇒ a=b> | |||||||||
(84) | Konklusion (73), (83) | <<(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> ⇒ <(a+Sc)=(b+Sc) ⇒ a=b>> | |||||||||
(85) | Verallgemeinerung (84) nach c | ∀c: <<(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> ⇒ <(a+Sc)=(b+Sc) ⇒ a=b>> | |||||||||
(86) | Induktion (72), (85) | ∀c: <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(87) | Verallgemeinerung (86) nach b | ∀b: ∀c: <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(88) | Spezialisierung (87) b ← 0 | ∀c: <(a+c)=(0+c) ⇒ a=0> | |||||||||
(89) | Spezialisierung (88) c ← b | <(a+b)=(0+b) ⇒ a=0> | |||||||||
(90) | Hypothese | (a+b)=b | |||||||||
(91) | Übernahme (52) | (0+b)=b | |||||||||
(92) | Symmetrie (91) | b=(0+b) | |||||||||
(93) | Transitivität (90), (92) | (a+b)=(0+b) | |||||||||
(94) | Übernahme (89) | <(a+b)=(0+b) ⇒ a=0> | |||||||||
(95) | Modus ponens (94), (93) | a=0 | |||||||||
(96) | Konklusion (90), (95) | <(a+b)=b ⇒ a=0> | |||||||||
(97) | Verallgemeinerung (96) nach b | ∀b: <(a+b)=b ⇒ a=0> | |||||||||
(98) | Spezialisierung (97) b ← Sb | <(a+Sb)=Sb ⇒ a=0> | |||||||||
(99) | Verallgemeinerung (98) nach a | ∀a: <(a+Sb)=Sb ⇒ a=0> | |||||||||
(100) | Spezialisierung (99) a ← Sd | <(Sd+Sb)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(101) | Spezialisierung (65) b ← Sd | (a+Sd)=(Sd+a) | |||||||||
(102) | Verallgemeinerung (101) nach a | ∀a: (a+Sd)=(Sd+a) | |||||||||
(103) | Spezialisierung (102) a ← Sb | (Sb+Sd)=(Sd+Sb) | |||||||||
(104) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sb | |||||||||
(105) | Übernahme (103) | (Sb+Sd)=(Sd+Sb) | |||||||||
(106) | Symmetrie (105) | (Sd+Sb)=(Sb+Sd) | |||||||||
(107) | Transitivität (106), (104) | (Sd+Sb)=Sb | |||||||||
(108) | Übernahme (100) | <(Sd+Sb)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(109) | Modus ponens (108), (107) | Sd=0 | |||||||||
(110) | Konklusion (104), (109) | <(Sb+Sd)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(111) | Hypothese | a=b | |||||||||
(112) | Übernahme (6) | (a+0)=a | |||||||||
(113) | Übernahme (7) | (b+0)=b | |||||||||
(114) | Symmetrie (113) | b=(b+0) | |||||||||
(115) | Transitivität (112), (111) | (a+0)=b | |||||||||
(116) | Transitivität (115), (114) | (a+0)=(b+0) | |||||||||
(117) | Konklusion (111), (116) | <a=b ⇒ (a+0)=(b+0)> | |||||||||
(118) | Hypothese | <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(119) | Hypothese | a=b | |||||||||
(120) | Übernahme (118) | <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(121) | Modus ponens (120), (119) | (a+c)=(b+c) | |||||||||
(122) | S hinzufügen (121) | S(a+c)=S(b+c) | |||||||||
(123) | Übernahme (13) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(124) | Übernahme (15) | (b+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(125) | Symmetrie (124) | S(b+c)=(b+Sc) | |||||||||
(126) | Transitivität (123), (122) | (a+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(127) | Transitivität (126), (125) | (a+Sc)=(b+Sc) | |||||||||
(128) | Konklusion (119), (127) | <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)> | |||||||||
(129) | Konklusion (118), (128) | <<a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> ⇒ <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)>> | |||||||||
(130) | Verallgemeinerung (129) nach c | ∀c: <<a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> ⇒ <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)>> | |||||||||
(131) | Induktion (117), (130) | ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(132) | Spezialisierung (131) c ← d | <a=b ⇒ (a+d)=(b+d)> | |||||||||
(133) | Verallgemeinerung (132) nach a | ∀a: <a=b ⇒ (a+d)=(b+d)> | |||||||||
(134) | Spezialisierung (133) a ← c | <c=b ⇒ (c+d)=(b+d)> | |||||||||
(135) | Verallgemeinerung (134) nach b | ∀b: <c=b ⇒ (c+d)=(b+d)> | |||||||||
(136) | Spezialisierung (135) b ← 0 | <c=0 ⇒ (c+d)=(0+d)> | |||||||||
(137) | Verallgemeinerung (136) nach d | ∀d: <c=0 ⇒ (c+d)=(0+d)> | |||||||||
(138) | Spezialisierung (137) d ← a | <c=0 ⇒ (c+a)=(0+a)> | |||||||||
(139) | Hypothese | c=0 | |||||||||
(140) | Übernahme (138) | <c=0 ⇒ (c+a)=(0+a)> | |||||||||
(141) | Modus ponens (140), (139) | (c+a)=(0+a) | |||||||||
(142) | Übernahme (66) | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(143) | Übernahme (53) | (0+a)=a | |||||||||
(144) | Transitivität (142), (141) | (a+c)=(0+a) | |||||||||
(145) | Transitivität (144), (143) | (a+c)=a | |||||||||
(146) | Konklusion (139), (145) | <c=0 ⇒ (a+c)=a> | |||||||||
(147) | Spezialisierung (135) b ← Se | <c=Se ⇒ (c+d)=(Se+d)> | |||||||||
(148) | Verallgemeinerung (147) nach d | ∀d: <c=Se ⇒ (c+d)=(Se+d)> | |||||||||
(149) | Spezialisierung (148) d ← a | <c=Se ⇒ (c+a)=(Se+a)> | |||||||||
(150) | Spezialisierung (65) b ← Se | (a+Se)=(Se+a) | |||||||||
(151) | Symmetrie (150) | (Se+a)=(a+Se) | |||||||||
(152) | Hypothese | Se=c | |||||||||
(153) | Symmetrie (152) | c=Se | |||||||||
(154) | Übernahme (149) | <c=Se ⇒ (c+a)=(Se+a)> | |||||||||
(155) | Modus ponens (154), (153) | (c+a)=(Se+a) | |||||||||
(156) | Übernahme (66) | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(157) | Übernahme (151) | (Se+a)=(a+Se) | |||||||||
(158) | Transitivität (156), (155) | (a+c)=(Se+a) | |||||||||
(159) | Transitivität (158), (157) | (a+c)=(a+Se) | |||||||||
(160) | Symmetrie (159) | (a+Se)=(a+c) | |||||||||
(161) | Konklusion (152), (160) | <Se=c ⇒ (a+Se)=(a+c)> | |||||||||
(162) | Hypothese | ∀e: ¬Se=0 | |||||||||
(163) | Übernahme (11) | 0=0 | |||||||||
(164) | Konklusion (162), (163) | <∀e: ¬Se=0 ⇒ 0=0> | |||||||||
(165) | Hypothese | <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(166) | Hypothese | ∀e: ¬Se=Sc | |||||||||
(167) | Spezialisierung (166) e ← c | ¬Sc=Sc | |||||||||
(168) | Hypothese | ¬Sc=0 | |||||||||
(169) | Übernahme (12) | Sc=Sc | |||||||||
(170) | Konklusion (168), (169) | <¬Sc=0 ⇒ Sc=Sc> | |||||||||
(171) | Kontraposition (170) | <¬Sc=Sc ⇒ ¬¬Sc=0> | |||||||||
(172) | Modus ponens (171), (167) | ¬¬Sc=0 | |||||||||
(173) | Doppelte Negation (172) | Sc=0 | |||||||||
(174) | Konklusion (166), (173) | <∀e: ¬Se=Sc ⇒ Sc=0> | |||||||||
(175) | Konklusion (165), (174) | <<∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> ⇒ <∀e: ¬Se=Sc ⇒ Sc=0>> | |||||||||
(176) | Verallgemeinerung (175) nach c | ∀c: <<∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> ⇒ <∀e: ¬Se=Sc ⇒ Sc=0>> | |||||||||
(177) | Induktion (164), (176) | ∀c: <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(178) | Spezialisierung (177) c ← c | <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(179) | Hypothese | ∀d: ¬(b+Sd)=Sa | |||||||||
(180) | Spezialisierung (179) d ← Sd | ¬(b+SSd)=Sa | |||||||||
(181) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(182) | Übernahme (43) | (Sb+Sd)=S(b+Sd) | |||||||||
(183) | Symmetrie (182) | S(b+Sd)=(Sb+Sd) | |||||||||
(184) | Übernahme (22) | (b+SSd)=S(b+Sd) | |||||||||
(185) | Transitivität (184), (183) | (b+SSd)=(Sb+Sd) | |||||||||
(186) | Transitivität (185), (181) | (b+SSd)=Sa | |||||||||
(187) | Konklusion (181), (186) | <(Sb+Sd)=Sa ⇒ (b+SSd)=Sa> | |||||||||
(188) | Kontraposition (187) | <¬(b+SSd)=Sa ⇒ ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(189) | Modus ponens (188), (180) | ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(190) | Verallgemeinerung (189) nach d | ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(191) | Konklusion (179), (190) | <∀d: ¬(b+Sd)=Sa ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(192) | Hypothese | a=b | |||||||||
(193) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(194) | Übernahme (192) | a=b | |||||||||
(195) | S hinzufügen (194) | Sa=Sb | |||||||||
(196) | Transitivität (193), (195) | (Sb+Sd)=Sb | |||||||||
(197) | Übernahme (110) | <(Sb+Sd)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(198) | Modus ponens (197), (196) | Sd=0 | |||||||||
(199) | Konklusion (193), (198) | <(Sb+Sd)=Sa ⇒ Sd=0> | |||||||||
(200) | Kontraposition (199) | <¬Sd=0 ⇒ ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(201) | Übernahme (23) | ¬Sd=0 | |||||||||
(202) | Modus ponens (200), (201) | ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(203) | Verallgemeinerung (202) nach d | ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(204) | Konklusion (192), (203) | <a=b ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(205) | Hypothese | ¬a=b | |||||||||
(206) | Hypothese | ∀c: ¬(a+Sc)=b | |||||||||
(207) | Spezialisierung (206) c ← e | ¬(a+Se)=b | |||||||||
(208) | Hypothese | (a+Sc)=Sb | |||||||||
(209) | Übernahme (13) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(210) | Symmetrie (209) | S(a+c)=(a+Sc) | |||||||||
(211) | Transitivität (210), (208) | S(a+c)=Sb | |||||||||
(212) | S entfernen (211) | (a+c)=b | |||||||||
(213) | Hypothese | Se=c | |||||||||
(214) | Übernahme (161) | <Se=c ⇒ (a+Se)=(a+c)> | |||||||||
(215) | Modus ponens (214), (213) | (a+Se)=(a+c) | |||||||||
(216) | Übernahme (212) | (a+c)=b | |||||||||
(217) | Transitivität (215), (216) | (a+Se)=b | |||||||||
(218) | Konklusion (213), (217) | <Se=c ⇒ (a+Se)=b> | |||||||||
(219) | Kontraposition (218) | <¬(a+Se)=b ⇒ ¬Se=c> | |||||||||
(220) | Übernahme (207) | ¬(a+Se)=b | |||||||||
(221) | Modus ponens (219), (220) | ¬Se=c | |||||||||
(222) | Verallgemeinerung (221) nach e | ∀e: ¬Se=c | |||||||||
(223) | Übernahme (178) | <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(224) | Modus ponens (223), (222) | c=0 | |||||||||
(225) | Übernahme (146) | <c=0 ⇒ (a+c)=a> | |||||||||
(226) | Modus ponens (225), (224) | (a+c)=a | |||||||||
(227) | S hinzufügen (226) | S(a+c)=Sa | |||||||||
(228) | Transitivität (209), (227) | (a+Sc)=Sa | |||||||||
(229) | Symmetrie (228) | Sa=(a+Sc) | |||||||||
(230) | Transitivität (229), (208) | Sa=Sb | |||||||||
(231) | S entfernen (230) | a=b | |||||||||
(232) | Konklusion (208), (231) | <(a+Sc)=Sb ⇒ a=b> | |||||||||
(233) | Kontraposition (232) | <¬a=b ⇒ ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(234) | Übernahme (205) | ¬a=b | |||||||||
(235) | Modus ponens (233), (234) | ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(236) | Verallgemeinerung (235) nach c | ∀c: ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(237) | Konklusion (206), (236) | <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(238) | Konklusion (205), (237) | <¬a=b ⇒ <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb>> | |||||||||
(239) | Hypothese | <¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(240) | Abtrennung I (239) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(241) | Abtrennung II (239) | ¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(242) | Übernahme (191) | <∀d: ¬(b+Sd)=Sa ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(243) | Kontraposition (242) | <¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa ⇒ ¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(244) | Modus ponens (243), (241) | ¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa | |||||||||
(245) | Übernahme (204) | <a=b ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(246) | Kontraposition (245) | <¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa ⇒ ¬a=b> | |||||||||
(247) | Modus ponens (246), (241) | ¬a=b | |||||||||
(248) | Übernahme (238) | <¬a=b ⇒ <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb>> | |||||||||
(249) | Modus ponens (248), (247) | <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(250) | Kontraposition (249) | <¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb ⇒ ¬∀c: ¬(a+Sc)=b> | |||||||||
(251) | Modus ponens (250), (240) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=b | |||||||||
(252) | Konjunktion (251), (244) | <¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(253) | Konklusion (239), (252) | <<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> ⇒ <¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa>> | |||||||||
(254) | Kontraposition (253) | <¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa>> | |||||||||
(255) | Verallgemeinerung (254) nach b | ∀b: <¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa>> | |||||||||
(256) | Hypothese | (a+Sc)=0 | |||||||||
(257) | Übernahme (13) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(258) | Symmetrie (257) | S(a+c)=(a+Sc) | |||||||||
(259) | Transitivität (258), (256) | S(a+c)=0 | |||||||||
(260) | Konklusion (256), (259) | <(a+Sc)=0 ⇒ S(a+c)=0> | |||||||||
(261) | Kontraposition (260) | <¬S(a+c)=0 ⇒ ¬(a+Sc)=0> | |||||||||
(262) | Spezialisierung (1) a ← (a+c) | ¬S(a+c)=0 | |||||||||
(263) | Modus ponens (261), (262) | ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(264) | Verallgemeinerung (263) nach c | ∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(265) | Doppelte Negation (264) | ¬¬∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(266) | Hypothese | <¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> | |||||||||
(267) | Abtrennung I (266) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(268) | Konklusion (266), (267) | <<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> ⇒ ¬∀c: ¬(a+Sc)=0> | |||||||||
(269) | Kontraposition (268) | <¬¬∀c: ¬(a+Sc)=0 ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa>> | |||||||||
(270) | Modus ponens (269), (265) | ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> | |||||||||
(271) | Induktion (270), (255) | ∀b: ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(272) | Verallgemeinerung (271) nach a | ∀a: ∀b: ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(273) | Spezialisierung (272) a ← SSSS0 | ∀b: ¬<¬∀c: ¬(SSSS0+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=SSSSS0> |
Interpretation:
Es gibt keine Zahl zwischen 4 und 5 (direkt aus den Axiomen gezeigt)