Es gelten die allgemeinen Vorbemerkungen.
(1) | Axiom 2 | ∀a: (a+0)=a | |||||||||
(2) | Spezialisierung (1) a ← a | (a+0)=a | |||||||||
(3) | Spezialisierung (1) a ← b | (b+0)=b | |||||||||
(4) | Symmetrie (3) | b=(b+0) | |||||||||
(5) | Axiom 3 | ∀a: ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(6) | Spezialisierung (5) a ← a | ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(7) | Spezialisierung (6) b ← c | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(8) | Verallgemeinerung (7) nach a | ∀a: (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(9) | Spezialisierung (8) a ← b | (b+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(10) | Hypothese | a=b | |||||||||
(11) | Übernahme (2) | (a+0)=a | |||||||||
(12) | Transitivität (11), (10) | (a+0)=b | |||||||||
(13) | Übernahme (4) | b=(b+0) | |||||||||
(14) | Transitivität (12), (13) | (a+0)=(b+0) | |||||||||
(15) | Konklusion (10), (14) | <a=b ⇒ (a+0)=(b+0)> | |||||||||
(16) | Hypothese | <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(17) | Hypothese | a=b | |||||||||
(18) | Übernahme (7) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(19) | Übernahme (9) | (b+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(20) | Übernahme (16) | <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(21) | Modus ponens (20), (17) | (a+c)=(b+c) | |||||||||
(22) | S hinzufügen (21) | S(a+c)=S(b+c) | |||||||||
(23) | Transitivität (18), (22) | (a+Sc)=S(b+c) | |||||||||
(24) | Symmetrie (19) | S(b+c)=(b+Sc) | |||||||||
(25) | Transitivität (23), (24) | (a+Sc)=(b+Sc) | |||||||||
(26) | Konklusion (17), (25) | <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)> | |||||||||
(27) | Konklusion (16), (26) | <<a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> ⇒ <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)>> | |||||||||
(28) | Verallgemeinerung (27) nach c | ∀c: <<a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> ⇒ <a=b ⇒ (a+Sc)=(b+Sc)>> | |||||||||
(29) | Induktion (15), (28) | ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(30) | Verallgemeinerung (29) nach b | ∀b: ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(31) | Verallgemeinerung (30) nach a | ∀a: ∀b: ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> |
Interpretation:
Addition ist eine Funktion im ersten Summanden