Es gelten die allgemeinen Vorbemerkungen.
(1) | Axiom 1 | ∀a: ¬Sa=0 | |||||||||
(2) | Axiom 3 | ∀a: ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(3) | Spezialisierung (2) a ← a | ∀b: (a+Sb)=S(a+b) | |||||||||
(4) | Spezialisierung (3) b ← c | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(5) | Spezialisierung (3) b ← Sd | (a+SSd)=S(a+Sd) | |||||||||
(6) | Verallgemeinerung (5) nach a | ∀a: (a+SSd)=S(a+Sd) | |||||||||
(7) | Spezialisierung (6) a ← b | (b+SSd)=S(b+Sd) | |||||||||
(8) | Spezialisierung (1) a ← d | ¬Sd=0 | |||||||||
(9) | Theorem 6 | ∀a: ∀b: (Sa+b)=S(a+b) | |||||||||
(10) | Spezialisierung (9) a ← a | ∀b: (Sa+b)=S(a+b) | |||||||||
(11) | Spezialisierung (10) b ← c | (Sa+c)=S(a+c) | |||||||||
(12) | Verallgemeinerung (11) nach a | ∀a: (Sa+c)=S(a+c) | |||||||||
(13) | Spezialisierung (12) a ← b | (Sb+c)=S(b+c) | |||||||||
(14) | Verallgemeinerung (13) nach c | ∀c: (Sb+c)=S(b+c) | |||||||||
(15) | Spezialisierung (14) c ← Sd | (Sb+Sd)=S(b+Sd) | |||||||||
(16) | Theorem 5 | ∀a: (0+a)=a | |||||||||
(17) | Spezialisierung (16) a ← b | (0+b)=b | |||||||||
(18) | Spezialisierung (16) a ← a | (0+a)=a | |||||||||
(19) | Theorem 8 | ∀a: ∀b: (a+b)=(b+a) | |||||||||
(20) | Spezialisierung (19) a ← a | ∀b: (a+b)=(b+a) | |||||||||
(21) | Spezialisierung (20) b ← c | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(22) | Theorem 22 | ∀a: ∀b: ∀c: <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(23) | Spezialisierung (22) a ← a | ∀b: ∀c: <(a+c)=(b+c) ⇒ a=b> | |||||||||
(24) | Spezialisierung (23) b ← 0 | ∀c: <(a+c)=(0+c) ⇒ a=0> | |||||||||
(25) | Spezialisierung (24) c ← b | <(a+b)=(0+b) ⇒ a=0> | |||||||||
(26) | Hypothese | (a+b)=b | |||||||||
(27) | Übernahme (17) | (0+b)=b | |||||||||
(28) | Symmetrie (27) | b=(0+b) | |||||||||
(29) | Transitivität (26), (28) | (a+b)=(0+b) | |||||||||
(30) | Übernahme (25) | <(a+b)=(0+b) ⇒ a=0> | |||||||||
(31) | Modus ponens (30), (29) | a=0 | |||||||||
(32) | Konklusion (26), (31) | <(a+b)=b ⇒ a=0> | |||||||||
(33) | Verallgemeinerung (32) nach b | ∀b: <(a+b)=b ⇒ a=0> | |||||||||
(34) | Spezialisierung (33) b ← Sb | <(a+Sb)=Sb ⇒ a=0> | |||||||||
(35) | Verallgemeinerung (34) nach a | ∀a: <(a+Sb)=Sb ⇒ a=0> | |||||||||
(36) | Spezialisierung (35) a ← Sd | <(Sd+Sb)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(37) | Spezialisierung (20) b ← Sd | (a+Sd)=(Sd+a) | |||||||||
(38) | Verallgemeinerung (37) nach a | ∀a: (a+Sd)=(Sd+a) | |||||||||
(39) | Spezialisierung (38) a ← Sb | (Sb+Sd)=(Sd+Sb) | |||||||||
(40) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sb | |||||||||
(41) | Übernahme (39) | (Sb+Sd)=(Sd+Sb) | |||||||||
(42) | Symmetrie (41) | (Sd+Sb)=(Sb+Sd) | |||||||||
(43) | Transitivität (42), (40) | (Sd+Sb)=Sb | |||||||||
(44) | Übernahme (36) | <(Sd+Sb)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(45) | Modus ponens (44), (43) | Sd=0 | |||||||||
(46) | Konklusion (40), (45) | <(Sb+Sd)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(47) | Theorem 9 | ∀a: ∀b: ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(48) | Spezialisierung (47) a ← a | ∀b: ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(49) | Spezialisierung (48) b ← b | ∀c: <a=b ⇒ (a+c)=(b+c)> | |||||||||
(50) | Spezialisierung (49) c ← d | <a=b ⇒ (a+d)=(b+d)> | |||||||||
(51) | Verallgemeinerung (50) nach a | ∀a: <a=b ⇒ (a+d)=(b+d)> | |||||||||
(52) | Spezialisierung (51) a ← c | <c=b ⇒ (c+d)=(b+d)> | |||||||||
(53) | Verallgemeinerung (52) nach b | ∀b: <c=b ⇒ (c+d)=(b+d)> | |||||||||
(54) | Spezialisierung (53) b ← 0 | <c=0 ⇒ (c+d)=(0+d)> | |||||||||
(55) | Verallgemeinerung (54) nach d | ∀d: <c=0 ⇒ (c+d)=(0+d)> | |||||||||
(56) | Spezialisierung (55) d ← a | <c=0 ⇒ (c+a)=(0+a)> | |||||||||
(57) | Hypothese | c=0 | |||||||||
(58) | Übernahme (56) | <c=0 ⇒ (c+a)=(0+a)> | |||||||||
(59) | Modus ponens (58), (57) | (c+a)=(0+a) | |||||||||
(60) | Übernahme (21) | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(61) | Übernahme (18) | (0+a)=a | |||||||||
(62) | Transitivität (60), (59) | (a+c)=(0+a) | |||||||||
(63) | Transitivität (62), (61) | (a+c)=a | |||||||||
(64) | Konklusion (57), (63) | <c=0 ⇒ (a+c)=a> | |||||||||
(65) | Spezialisierung (53) b ← Se | <c=Se ⇒ (c+d)=(Se+d)> | |||||||||
(66) | Verallgemeinerung (65) nach d | ∀d: <c=Se ⇒ (c+d)=(Se+d)> | |||||||||
(67) | Spezialisierung (66) d ← a | <c=Se ⇒ (c+a)=(Se+a)> | |||||||||
(68) | Spezialisierung (20) b ← Se | (a+Se)=(Se+a) | |||||||||
(69) | Symmetrie (68) | (Se+a)=(a+Se) | |||||||||
(70) | Hypothese | Se=c | |||||||||
(71) | Symmetrie (70) | c=Se | |||||||||
(72) | Übernahme (67) | <c=Se ⇒ (c+a)=(Se+a)> | |||||||||
(73) | Modus ponens (72), (71) | (c+a)=(Se+a) | |||||||||
(74) | Übernahme (21) | (a+c)=(c+a) | |||||||||
(75) | Übernahme (69) | (Se+a)=(a+Se) | |||||||||
(76) | Transitivität (74), (73) | (a+c)=(Se+a) | |||||||||
(77) | Transitivität (76), (75) | (a+c)=(a+Se) | |||||||||
(78) | Symmetrie (77) | (a+Se)=(a+c) | |||||||||
(79) | Konklusion (70), (78) | <Se=c ⇒ (a+Se)=(a+c)> | |||||||||
(80) | Theorem 3 | ∀a: <∀b: ¬Sb=a ⇒ a=0> | |||||||||
(81) | Spezialisierung (80) a ← c | <∀b: ¬Sb=c ⇒ c=0> | |||||||||
(82) | Hypothese | ∀e: ¬Se=c | |||||||||
(83) | Spezialisierung (82) e ← b | ¬Sb=c | |||||||||
(84) | Verallgemeinerung (83) nach b | ∀b: ¬Sb=c | |||||||||
(85) | Übernahme (81) | <∀b: ¬Sb=c ⇒ c=0> | |||||||||
(86) | Modus ponens (85), (84) | c=0 | |||||||||
(87) | Konklusion (82), (86) | <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(88) | Hypothese | ∀d: ¬(b+Sd)=Sa | |||||||||
(89) | Spezialisierung (88) d ← Sd | ¬(b+SSd)=Sa | |||||||||
(90) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(91) | Übernahme (15) | (Sb+Sd)=S(b+Sd) | |||||||||
(92) | Symmetrie (91) | S(b+Sd)=(Sb+Sd) | |||||||||
(93) | Übernahme (7) | (b+SSd)=S(b+Sd) | |||||||||
(94) | Transitivität (93), (92) | (b+SSd)=(Sb+Sd) | |||||||||
(95) | Transitivität (94), (90) | (b+SSd)=Sa | |||||||||
(96) | Konklusion (90), (95) | <(Sb+Sd)=Sa ⇒ (b+SSd)=Sa> | |||||||||
(97) | Kontraposition (96) | <¬(b+SSd)=Sa ⇒ ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(98) | Modus ponens (97), (89) | ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(99) | Verallgemeinerung (98) nach d | ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(100) | Konklusion (88), (99) | <∀d: ¬(b+Sd)=Sa ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(101) | Hypothese | a=b | |||||||||
(102) | Hypothese | (Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(103) | Übernahme (101) | a=b | |||||||||
(104) | S hinzufügen (103) | Sa=Sb | |||||||||
(105) | Transitivität (102), (104) | (Sb+Sd)=Sb | |||||||||
(106) | Übernahme (46) | <(Sb+Sd)=Sb ⇒ Sd=0> | |||||||||
(107) | Modus ponens (106), (105) | Sd=0 | |||||||||
(108) | Konklusion (102), (107) | <(Sb+Sd)=Sa ⇒ Sd=0> | |||||||||
(109) | Kontraposition (108) | <¬Sd=0 ⇒ ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(110) | Übernahme (8) | ¬Sd=0 | |||||||||
(111) | Modus ponens (109), (110) | ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(112) | Verallgemeinerung (111) nach d | ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(113) | Konklusion (101), (112) | <a=b ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(114) | Hypothese | ¬a=b | |||||||||
(115) | Hypothese | ∀c: ¬(a+Sc)=b | |||||||||
(116) | Spezialisierung (115) c ← e | ¬(a+Se)=b | |||||||||
(117) | Hypothese | (a+Sc)=Sb | |||||||||
(118) | Übernahme (4) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(119) | Symmetrie (118) | S(a+c)=(a+Sc) | |||||||||
(120) | Transitivität (119), (117) | S(a+c)=Sb | |||||||||
(121) | S entfernen (120) | (a+c)=b | |||||||||
(122) | Hypothese | Se=c | |||||||||
(123) | Übernahme (79) | <Se=c ⇒ (a+Se)=(a+c)> | |||||||||
(124) | Modus ponens (123), (122) | (a+Se)=(a+c) | |||||||||
(125) | Übernahme (121) | (a+c)=b | |||||||||
(126) | Transitivität (124), (125) | (a+Se)=b | |||||||||
(127) | Konklusion (122), (126) | <Se=c ⇒ (a+Se)=b> | |||||||||
(128) | Kontraposition (127) | <¬(a+Se)=b ⇒ ¬Se=c> | |||||||||
(129) | Übernahme (116) | ¬(a+Se)=b | |||||||||
(130) | Modus ponens (128), (129) | ¬Se=c | |||||||||
(131) | Verallgemeinerung (130) nach e | ∀e: ¬Se=c | |||||||||
(132) | Übernahme (87) | <∀e: ¬Se=c ⇒ c=0> | |||||||||
(133) | Modus ponens (132), (131) | c=0 | |||||||||
(134) | Übernahme (64) | <c=0 ⇒ (a+c)=a> | |||||||||
(135) | Modus ponens (134), (133) | (a+c)=a | |||||||||
(136) | S hinzufügen (135) | S(a+c)=Sa | |||||||||
(137) | Transitivität (118), (136) | (a+Sc)=Sa | |||||||||
(138) | Symmetrie (137) | Sa=(a+Sc) | |||||||||
(139) | Transitivität (138), (117) | Sa=Sb | |||||||||
(140) | S entfernen (139) | a=b | |||||||||
(141) | Konklusion (117), (140) | <(a+Sc)=Sb ⇒ a=b> | |||||||||
(142) | Kontraposition (141) | <¬a=b ⇒ ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(143) | Übernahme (114) | ¬a=b | |||||||||
(144) | Modus ponens (142), (143) | ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(145) | Verallgemeinerung (144) nach c | ∀c: ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(146) | Konklusion (115), (145) | <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(147) | Konklusion (114), (146) | <¬a=b ⇒ <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb>> | |||||||||
(148) | Hypothese | <¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(149) | Abtrennung I (148) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb | |||||||||
(150) | Abtrennung II (148) | ¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa | |||||||||
(151) | Übernahme (100) | <∀d: ¬(b+Sd)=Sa ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(152) | Kontraposition (151) | <¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa ⇒ ¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(153) | Modus ponens (152), (150) | ¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa | |||||||||
(154) | Übernahme (113) | <a=b ⇒ ∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> | |||||||||
(155) | Kontraposition (154) | <¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa ⇒ ¬a=b> | |||||||||
(156) | Modus ponens (155), (150) | ¬a=b | |||||||||
(157) | Übernahme (147) | <¬a=b ⇒ <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb>> | |||||||||
(158) | Modus ponens (157), (156) | <∀c: ¬(a+Sc)=b ⇒ ∀c: ¬(a+Sc)=Sb> | |||||||||
(159) | Kontraposition (158) | <¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb ⇒ ¬∀c: ¬(a+Sc)=b> | |||||||||
(160) | Modus ponens (159), (149) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=b | |||||||||
(161) | Konjunktion (160), (153) | <¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(162) | Konklusion (148), (161) | <<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa> ⇒ <¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa>> | |||||||||
(163) | Kontraposition (162) | <¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa>> | |||||||||
(164) | Verallgemeinerung (163) nach b | ∀b: <¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=Sb∧¬∀d: ¬(Sb+Sd)=Sa>> | |||||||||
(165) | Hypothese | (a+Sc)=0 | |||||||||
(166) | Übernahme (4) | (a+Sc)=S(a+c) | |||||||||
(167) | Symmetrie (166) | S(a+c)=(a+Sc) | |||||||||
(168) | Transitivität (167), (165) | S(a+c)=0 | |||||||||
(169) | Konklusion (165), (168) | <(a+Sc)=0 ⇒ S(a+c)=0> | |||||||||
(170) | Kontraposition (169) | <¬S(a+c)=0 ⇒ ¬(a+Sc)=0> | |||||||||
(171) | Spezialisierung (1) a ← (a+c) | ¬S(a+c)=0 | |||||||||
(172) | Modus ponens (170), (171) | ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(173) | Verallgemeinerung (172) nach c | ∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(174) | Doppelte Negation (173) | ¬¬∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(175) | Hypothese | <¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> | |||||||||
(176) | Abtrennung I (175) | ¬∀c: ¬(a+Sc)=0 | |||||||||
(177) | Konklusion (175), (176) | <<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> ⇒ ¬∀c: ¬(a+Sc)=0> | |||||||||
(178) | Kontraposition (177) | <¬¬∀c: ¬(a+Sc)=0 ⇒ ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa>> | |||||||||
(179) | Modus ponens (178), (174) | ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=0∧¬∀d: ¬(0+Sd)=Sa> | |||||||||
(180) | Induktion (179), (164) | ∀b: ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(181) | Verallgemeinerung (180) nach a | ∀a: ∀b: ¬<¬∀c: ¬(a+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=Sa> | |||||||||
(182) | Spezialisierung (181) a ← SSSS0 | ∀b: ¬<¬∀c: ¬(SSSS0+Sc)=b∧¬∀d: ¬(b+Sd)=SSSSS0> |
Interpretation:
Es gibt keine Zahl zwischen 4 und 5